Информация

Докладчик

Вводная часть

Цель работы

Исследовать математическую модель конкуренции двух фирм.

Случай 1

$$\begin{cases} \dfrac{dM_1}{d\theta} = M_1-\dfrac{b}{c_1}M_1M_2-\dfrac{a_1}{c_1}M_1^2,\\ \dfrac{dM_2}{d\theta} = \dfrac{c_2}{c_1}M2-\dfrac{b}{c_1}M_1M_2-\dfrac{a_1}{c_1}M_2^2, \end{cases} $$

где $a_1=\dfrac{p_{cr}}{\tau_{1}^2\tilde p_1^2Nq}, \, \, a_2=\dfrac{p_{cr}}{\tau_{2}^2\tilde p_2^2Nq}, \, \, b=\dfrac{p_{cr}}{\tau_{1}^2\tilde p_1^2\tau_{2}^2\tilde p_2^2Nq}, \, \, c_1=\dfrac{p_{cr} - \tilde{p_1}}{\tau_{1}\tilde p_1}, \, \, c_2=\dfrac{p_{cr} - \tilde{p_1}}{\tau_{2}\tilde p_2}$

Также введена нормировка t = c₁θ.

Случай 2

$$\begin{cases} \dfrac{dM_1}{d\theta} = M_1-(\dfrac{b}{c_1}+0.00016)M_1M_2-\dfrac{a_1}{c_1}M_1^2,\\ \dfrac{dM_2}{d\theta} = \dfrac{c_2}{c_1}M2-\dfrac{b}{c_1}M_1M_2-\dfrac{a_1}{c_1}M_2^2, \end{cases} $$

Параметры

M₀¹ = 7.4, M₀² = 8.4, p_cr = 41, N = 90, q = 1 τ₁ = 29, τ₂ = 26, $$\tilde{p_1}=12.5, \, \tilde{p_2}=10.5$$

Обозначения

• N – число потребителей производимого продукта.
• τ – длительность производственного цикла
• p – рыночная цена товара
• p̃ – себестоимость продукта, то есть переменные издержки на производство единицы продукции.
• q – максимальная потребность одного человека в продукте в единицу времени
• $\theta = \dfrac{t}{c_1}$ – безразмерное время

Задание

1. Построить графики изменения оборотных средств фирмы 1 и фирмы 2 без учета постоянных издержек и с веденной нормировкой для случая 1.
2. Построить графики изменения оборотных средств фирмы 1 и фирмы 2 без учета постоянных издержек и с веденной нормировкой для случая 2.

Выполнение лабораторной работы

Реализация на Julia

Для реализации на языке программирования Julia будем использовать библиотеки DifferentialEquations.jl для решения дифференциальных уравнений и Plots.jl для отрисовки графиков.

Реализация на Julia

p_cr = 41 #критическая стоимость продукта
tau1 = 29 #длительность производственного цикла фирмы 1
p1 = 12.5 #себестоимость продукта у фирмы 1
tau2 = 26 #длительность производственного цикла фирмы 2
p2 = 10.5 #себестоимость продукта у фирмы 2
N = 90 #число потребителей производимого продукта
q = 1; #максимальная потребность одного человека в продукте в единицу времени

Реализация на Julia

a1 = p_cr/(tau1^2*p1^2*N*q);
a2 = p_cr/(tau2^2*p2^2*N*q);
b = p_cr/(tau1^2*tau2^2*p1^2*p2^2*N*q);
c1 = (p_cr-p1)/(tau1*p1);
c2 = (p_cr-p2)/(tau2*p2);

u0 = [7.4, 8.4] #начальные значения M1 и M2
p = [a1, a2, b, c1, c2]
tspan = (0.0, 30.0) #временной интервал

Реализация на Julia. Случай 1

function f(u, p, t)
    M1, M2 = u
    a1, a2, b, c1, c2 = p
    M1 = M1 - (a1/c1)*M1^2 - (b/c1)*M1*M2
    M2 = (c2/c1)*M2 - (a2/c1)*M2^2 - (b/c1)*M1*M2
    return [M1, M2]
end

Реализация на Julia. Случай 1

prob = ODEProblem(f, u0, tspan, p)
sol = solve(prob, Tsit5(), saveat = 0.01)
plot(sol, yaxis = "Оборотные средства предприятия", label = ["M1" "M2"], 
        c = ["green" "purple"])

Реализация на Julia. Случай 1

Реализация на Julia. Случай 2

function f(u, p, t)
    M1, M2 = u
    a1, a2, b, c1, c2 = p
    M1 = M1 - (a1/c1)*M1^2 - (b/c1+0.00016)*M1*M2
    M2 = (c2/c1)*M2 - (a2/c1)*M2^2 - (b/c1)*M1*M2
    return [M1, M2]
end

Реализация на Julia. Случай 2

prob = ODEProblem(f, u0, tspan, p)
sol = solve(prob, Tsit5(), saveat = 0.01)
plot(sol, yaxis = "Оборотные средства предприятия", label = ["M1" "M2"], 
          c = ["green" "purple"])

Реализация на Julia. Случай 2

Реализация на Julia. Случай 2 (приближенный график)

Реализация на OpenModelica. Случай 1

  parameter Real p_cr = 41;
  parameter Real tau1 = 29;  
  parameter Real p1 = 12.5;
  parameter Real tau2 = 26;
  parameter Real p2 = 10.5;  
  parameter Real N = 90;
  parameter Real q = 1;
  parameter Real a1 = p_cr/(tau1^2*p1^2*N*q);
  parameter Real a2 = p_cr/(tau2^2*p2^2*N*q);
  parameter Real b = p_cr/(tau1^2*tau2^2*p1^2*p2^2*N*q);  
  parameter Real c1 = (p_cr-p1)/(tau1*p1);
  parameter Real c2 = (p_cr-p2)/(tau2*p2); 
  Real M1(start=7.4);
  Real M2(start=8.4);

Реализация на OpenModelica. Случай 1

equation
  der(M1) = M1 - (a1/c1)*M1^2 - (b/c1)*M1*M2;
  der(M2) = (c2/c1)*M2 - (a2/c1)*M2^2 - (b/c1)*M1*M2;

Реализация на OpenModelica. Случай 1

Реализация на OpenModelica. Случай 2

  parameter Real p_cr = 41;
  parameter Real tau1 = 29;  
  parameter Real p1 = 12.5;
  parameter Real tau2 = 26;
  parameter Real p2 = 10.5;  
  parameter Real N = 90;
  parameter Real q = 1;
  parameter Real a1 = p_cr/(tau1^2*p1^2*N*q);
  parameter Real a2 = p_cr/(tau2^2*p2^2*N*q);
  parameter Real b = p_cr/(tau1^2*tau2^2*p1^2*p2^2*N*q);  
  parameter Real c1 = (p_cr-p1)/(tau1*p1);
  parameter Real c2 = (p_cr-p2)/(tau2*p2);
  Real M1(start=7.4);
  Real M2(start=8.4);

Реализация на OpenModelica. Случай 2

equation
  der(M1) = M1 - (a1/c1)*M1^2 - (b/c1+0.00016)*M1*M2;
  der(M2) = (c2/c1)*M2 - (a2/c1)*M2^2 - (b/c1)*M1*M2;

Реализация на OpenModelica. Случай 2

Реализация на OpenModelica. Случай 2 (приближенный график)

Выводы

В результате выполнения лабораторной работы была исследована модель конкуренции двух фирм.

Список литературы

1. Копылов А.В., Просвиров А.Э. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ. 2003. 29-32 с.